维尔斯特拉斯函数/维尔斯特拉斯函数是黎曼可积的吗

什么时候学维尔斯特拉斯函数

八年级。维尔斯特拉斯函数是八年级开始学，维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。

维尔斯特拉斯于1872年提出的例子就是一个经典代表。他通过傅立叶级数构造了一个处处连续处处不可导的函数，即维尔斯特拉斯函数。定理1描述了这一构造的数学原理，证明了连续函数在任何点上不可导的条件。这个定理通过数学分析，特别是维尔斯特拉斯M检验，证明了函数在指定区间上的连续性和不可导性。

维尔斯特拉斯在其论文中，用下式定义了这个函数：0a1，b为奇数，具体形式略。这一成果发表于1872年7月18日的“Knigliche Akademie der Wissenschaften”上。函数的图形展示出分形特性，即局部放大后，其结构与整体保持相似，如图所示，其区间在[-2，2]之间。

年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。

例举一个函数

SUM函数：SUM函数的作用是求和，函数公式为=sum（）例如：统计一个单元格区域：=sum（A1：A10） 统计多个单元格区域：=sum（A1：A10，C1：C10）AVERAGE函数：Average 的作用是计算平均数。函数公式为=AVERAGE（ ）例如：计算多个单元格的平均值=AVERAGE（A1：A12）count函数：作用是计算单元格个数 。

函数有很多种，这里列举一些常见的类型：线性函数：这是最简单的函数类型，表示变量之间的直接关系，形如y=ax+b。二次函数：形式通常为y=ax+bx+c，图形是一个抛物线。三角函数：如正弦函数、余弦函数和正切函数，常用于描述周期性变化的现象。

奇函数包括正弦函数（sinx），余切函数（ctgx），对数函数的绝对值函数（|lgx|），三角函数的奇数幂次幂函数等。详细解释：奇函数是数学中的一个概念，指的是对于函数的定义域内任意实数x，都有f（-x）=-f（x）成立的函数。

五大类函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。然而，要列出这五大类函数中的常用函数共42个可能较为困难，因为不同领域和应用中常用的函数可能有所不同。

单调函数：y=kx+b，所有一次函数都是单调函数。当k=正数时，如1，2，3等，在（-∞，+∞），y随x增大而增大，函数为单调增函数。当k=负数时，如-1，-2，-3等，在（-∞，+∞），y随x增大而减小，函数为单调减函数。非单调函数：y=sinx、y=cosx、y=x^2等。

有没有处处连续但处处不可导的函数(比较好能附上图像)?

维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可导的函数，这个函数被称为维尔斯特拉斯函数。该函数的构造基于傅立叶级数，且需要满足特定条件。若函数满足条件，则在给定区间上连续，但在区间内任意一点不可导。证明此结论首先指出函数满足连续性条件，然后通过选取特定整数和表达式，证明在任何一点不可导。

想象一下这样的定理：对于一个正奇数n，若定义函数 f（x） 满足特定条件，即 f（x） 在所有实数上连续，并且在某个区间内对于任意点x，f（x） 不存在。维尔斯特拉斯的证明过程如同一次微积分的魔法，他利用了傅立叶级数的特性，通过证明 f（x） 在有限区间上一致收敛于某个函数，确保了它的连续性。

您好，答案如图所示：魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。而且该函数的每一点的斜率也是不存在的。

Weierstrass函数分形性质

Weierstrass函数展现出显著的分形特性，即在任何局部放大下，都能发现与整体类似的模式。尽管分形这个概念在学术界被广泛接受相对较晚，但Weierstrass函数的这一特性却早已显现。其独特的性质在于，无论放大多少次，每个弯曲细节都依然存在，不会趋近于直线，这使得函数在任意两点间都非单调。

魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

魏尔斯特拉斯函数，以其独特的分形特性而闻名，是数学中一类处处连续但处处不可导的实值函数。这个函数的出现推翻了当时人们对连续函数的传统理解，即认为除了少数特殊点，连续函数在每一点都有斜率。魏尔斯特拉斯的函数定义为一个无穷级数，其连续性和不可导性的证明在1872年的一篇论文中首次提出。

Weierstrass函数被认为是最早的分形实例，尽管“分形”这个术语在当时并未被广泛使用。函数的每一个细节在所有尺度上都得以体现，无论放大多少次，曲线都不会呈现出趋向直线的趋势。它还具有另一个显著特点：无论两点有多接近，函数都不会呈现单调性。

传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。

你所描述的函数其实就是分形几何的Weierstrass函数，这是一个处处连续处处不可导的函数。用matlab进行计算应包括两层循环。

处处连续处处不可导的函数

〖One〗、维尔斯特拉斯于1872年提出的例子就是一个经典代表。他通过傅立叶级数构造了一个处处连续处处不可导的函数，即维尔斯特拉斯函数。定理1描述了这一构造的数学原理，证明了连续函数在任何点上不可导的条件。这个定理通过数学分析，特别是维尔斯特拉斯M检验，证明了函数在指定区间上的连续性和不可导性。

〖Two〗、处处连续处处不可导函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的。

〖Three〗、维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可导的函数，这个函数被称为维尔斯特拉斯函数。该函数的构造基于傅立叶级数，且需要满足特定条件。若函数满足条件，则在给定区间上连续，但在区间内任意一点不可导。证明此结论首先指出函数满足连续性条件，然后通过选取特定整数和表达式，证明在任何一点不可导。